data: 2023-09-28
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Vettori
tipologia: sommario
stato: "1"Vettori Applicati
Sommario-appunti presi nel 27.06.2023, sui vettori applicati al passaggio di vettori liberi. Operazioni sui vettori e alcune osservazioni
data: 2023-09-28
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Vettori Applicati
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione basilare del vettore applicato, operazioni tra essi, vettore nullo, limitazioni dei vettori applicati, alcune proprietà.
Ci mettiamo nel contesto della geometria euclidea, i quali postulati vengono descritti dagli Elementi (uno dei testi fondamentali della matematica) di Euclide (uno dei matematici greci più importanti); quindi ricorreremo a dei concetti geometrici che vengono dati come elementi primitivi, come il punto, il piano, la retta,
Un vettore applicato è un segmento orientato, caratterizzato dunque da:
Graficamente il vettore si rappresenta così:
Dal grafico si evince che un vettore applicato è determinato da una coppia ordinatacoppia ordinata
Per ogni punto di applicazione
I vettori applicati si possono sommare tra di loro, purché il punto finale del primo vettore coincida con il punto iniziale del secondo, ovvero purché siano della forma
OSS 1.3.2. Se prendiamo
PROP 1.3.1: LA PROPRIETA' ASSOCIATIVA. La somma di vettori applicati, quando possibile, soddisfa la proprietà associativa;
DETOUR. Nei numeri reali
DIM. Dobbiamo dimostrare che per ogni vettore applicato
DEF 1.4. Dato un vettore applicato
Si nota un parallelismo tra due argomenti appena affrontati, ovvero le soluzioni di un'equazionesoluzioni di un'equazione e i Vettori ApplicatiVettori Applicati. Infatti, da una certa somma di vettori si ottiene un altro vettore; da una moltiplicazione di un vettore con uno scalare si ottiene un altro vettore, come proprio accade con le soluzioni di un'equazione (osservatosi in Equazioni e Proprietà LineariEquazioni e Proprietà Lineari).
Infatti entrambi i vettori applicati e le soluzioni lineari compongono dei spazi vettoriali; come lo stesso accade con le soluzioni alle equazioni differenziali lineari.
data: 2023-09-28
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Vettori Liberi
tipologia: appunti
stato: "1"Costruzione dei vettori liberi, brevi richiami a relazioni e classi di equivalenza (in Analisi 1), significato di equipollenza, classe di equipollenza e definizione di somma tra vettori liberi.
Come abbiamo osservato nei Vettori ApplicatiVettori Applicati, la costruzione di esse comportano delle limitazioni (OSS 1.3.1 e OSS 1.3.2); quindi per ottenere una teoria più "comprensiva", introduciamo un nuovo oggetto: i vettori liberi.
Tuttavia è necessario prima introdurre dei nuovi concetti, tra cui il concetto dell'equipollenza, della classe di equipollenza e i rappresentanti di una classe di equipollenza.
Due vettori applicati
OSS 1.1. Si verifica che l'equipollenza è una relazione di equivalenzarelazione di equivalenza (DEF 5.); ovvero essa è riflessiva, simmetrica e transitiva. Questo in quanto l'equipollenza è descritta dall'essere uguali
Dato un vettore applicato
INTERPRETAZIONE GRAFICA.
OSS 2.1. Si nota che
Ora finalmente si definisce il vettore libero, che si dice come una classe di equipollenza
Infatti è una quantità infinita di vettori applicati, che condividono una medesima direzione, un medesimo verso e una medesima lunghezza; sostanzialmente si "estrania" dal vettore applicato il punto di applicazione e si considerano solo le tre proprietà appena elencate sopra.
OSS 3.1.1. Tutti i vettori applicati nulli sono equipollenti e dunque formano una sola classe di equipollenza che si denota
OSS 3.1.2. Tenendo in considerazione la definizione della somma tra due vettori liberisomma tra due vettori liberi, si ha
data: 2023-10-03
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Operazioni sui vettori liberi
tipologia: appunti
stato: "1"Operazioni sui vettori liberi: somma, scalamento; proprietà di queste operazioni, proprietà asssociativa.
Dati due Vettori LiberiVettori Liberi
OSS 1.1. Rigorosamente parlando, la somma è una funzionefunzione, ovvero la si scrive come
OSS 1.2. Se definiamo il vettore libero nullo come
Analogamente si definisce lo scalamento come l'operazione della moltiplicazione di un vettore per uno scalare (ovvero numero reale
Se
OSS 2.1. Anche in questo caso la moltiplicazione di un vettore per uno scalare è una definizione ben posta.