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2.1 - Sommari
Vettori Geometrici - Sommario

Vettori Applicati

Sommario-appunti presi nel 27.06.2023, sui vettori applicati al passaggio di vettori liberi. Operazioni sui vettori e alcune osservazioni

Vettori Applicati

Definizione basilare del vettore applicato, operazioni tra essi, vettore nullo, limitazioni dei vettori applicati, alcune proprietà.

Premessa

Ci mettiamo nel contesto della geometria euclidea, i quali postulati vengono descritti dagli Elementi (uno dei testi fondamentali della matematica) di Euclide (uno dei matematici greci più importanti); quindi ricorreremo a dei concetti geometrici che vengono dati come elementi primitivi, come il punto, il piano, la retta,

DEF 1. Vettore Applicato

Un vettore applicato è un segmento orientato, caratterizzato dunque da:

  • Punto di applicazione; ovvero il "punto di partenza" del vettore .
  • Direzione; essa è quella data dalla retta su cui giace il vettore
  • Verso; esso è uno dei due orientamenti dalla retta
  • Modulo o lunghezza; viene indicata con

Graficamente il vettore si rappresenta così:
Vektor.png
Dal grafico si evince che un vettore applicato è determinato da una coppia ordinata di punti; in tal caso il vettore si denota

DEF 1.2. Vettore applicato nullo

Per ogni punto di applicazione , esiste il vettore applicato nullo , che non ha un verso definito.

DEF 1.3. Somma dei due vettori applicati

I vettori applicati si possono sommare tra di loro, purché il punto finale del primo vettore coincida con il punto iniziale del secondo, ovvero purché siano della forma DEF 1.3. DefiniamoOSS 1.3.1 Se i due vettori non sono della forma appena descritta sopra, ovvero allora non è possibile sommare questi due vettori; infatti questo rappresenta la prima limitazione dei vettori liberi.

OSS 1.3.2. Se prendiamo notiamo che e si comportano come il numero con l'addizione; però notiamo che questi due sono dei vettori applicati distinti e non uguali, in quanto essi sono definiti dai loro rispettivi punti di applicazione (e ovviamente ). Pertanto è come se si avesse un numero per ogni punto nel piano, dandoci così la seconda limitazione dei vettori liberi.

PROP 1.3.1: LA PROPRIETA' ASSOCIATIVA. La somma di vettori applicati, quando possibile, soddisfa la proprietà associativa;
DETOUR. Nei numeri reali la proprietà associativa della somma dice il seguente.
Infatti grazie a questa proprietà è possibile scrivere la somma per un numero di numeri senza nessuna ambiguità; ad esempio .
DIM. Dobbiamo dimostrare che per ogni vettore applicato vale che Ora, usando la definizione di somme dei vettori (DEF 1.3.), possiamo scrivere: Oppure si può anche avvalere dell'interpretazione grafica:
Prop ass.png

DEF 1.4. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare

DEF 1.4. Dato un vettore applicato e un numero reale , definiamo in questo modo: àà

  • A) Con la stessa direzione e lo stesso verso, ma con modulo uguale a ;
  • B) Con la stessa direzione, il verso opposto dal vettore originario e con modulo uguale a , ovvero ( rappresenta il valore assoluto)

OSS 1.1. Parallelismo tra equazioni lineari e vettori applicati

Si nota un parallelismo tra due argomenti appena affrontati, ovvero le soluzioni di un'equazione e i Vettori Applicati. Infatti, da una certa somma di vettori si ottiene un altro vettore; da una moltiplicazione di un vettore con uno scalare si ottiene un altro vettore, come proprio accade con le soluzioni di un'equazione (osservatosi in Equazioni e Proprietà Lineari).
Infatti entrambi i vettori applicati e le soluzioni lineari compongono dei spazi vettoriali; come lo stesso accade con le soluzioni alle equazioni differenziali lineari.

Vettori Liberi

Vettori Liberi
Vettori Liberi

Costruzione dei vettori liberi, brevi richiami a relazioni e classi di equivalenza (in Analisi 1), significato di equipollenza, classe di equipollenza e definizione di somma tra vettori liberi.

Premessa

Come abbiamo osservato nei Vettori Applicati, la costruzione di esse comportano delle limitazioni (OSS 1.3.1 e OSS 1.3.2); quindi per ottenere una teoria più "comprensiva", introduciamo un nuovo oggetto: i vettori liberi.
Tuttavia è necessario prima introdurre dei nuovi concetti, tra cui il concetto dell'equipollenza, della classe di equipollenza e i rappresentanti di una classe di equipollenza.

DEF 1. Equipollenza

Due vettori applicati si dicono equipollenti () se e solo se i due vettori hanno:

  • La medesima direzione
  • Il medesimo verso
  • Il medesimo modulo

OSS 1.1. Si verifica che l'equipollenza è una relazione di equivalenza (DEF 5.); ovvero essa è riflessiva, simmetrica e transitiva. Questo in quanto l'equipollenza è descritta dall'essere uguali .

DEF 2. Classe di equipollenza

Dato un vettore applicato , si definisce la sua classe di equipollenza PROP 2.1. Dai risultati della geometria euclidea segue che dati un vettore applicato e un punto , allora esiste sempre un vettore applicato ; da questo segue che una classe di equipollenza denotata e dato un punto nel piano, esiste sempre un vettore applicato che appartiene a e che ha come punto iniziale .
INTERPRETAZIONE GRAFICA.
Prop 2.1..png

OSS 2.1. Si nota che Quindi si dice che i vettori sono dei rappresentanti della medesima classe di equipollenza.

DEF 3. Vettore libero

Ora finalmente si definisce il vettore libero, che si dice come una classe di equipollenza .
Infatti è una quantità infinita di vettori applicati, che condividono una medesima direzione, un medesimo verso e una medesima lunghezza; sostanzialmente si "estrania" dal vettore applicato il punto di applicazione e si considerano solo le tre proprietà appena elencate sopra.

DEF 3.1. Vettore libero nullo

OSS 3.1.1. Tutti i vettori applicati nulli sono equipollenti e dunque formano una sola classe di equipollenza che si denota . Qui si vede superato la prima limitazione osservata nei Vettori Applicati (OSS. 1.3.1); quindi definiamo il vettore libero nullo come ovvero tutti i vettori per cui il punto di applicazione coincide con il punto di arrivo.

OSS 3.1.2. Tenendo in considerazione la definizione della somma tra due vettori liberi, si ha Quindi il vettore libero nullo si comporta come il numero rispetto all'operazione di somma.

Operazioni sui vettori liberi
Operazioni sui vettori liberi

Operazioni sui vettori liberi: somma, scalamento; proprietà di queste operazioni, proprietà asssociativa.

DEF 1. Somma di due vettori liberi

Dati due Vettori Liberi , definiamo la loro somma nella maniera seguente:

  1. Si sceglie un rappresentante per
  2. Per la PROP. 2.1. (Vettori Liberi), si può sempre scegliere un vettore applicato in tale che il suo punto iniziale sia , ovvero un vettore applicato , ovvero .
  3. Definiamo infine PROP. 1.1. Si sceglie arbitrariamente un rappresentante per ; tuttavia secondo il passaggio 3. si nota che indipendentemente dal vettore scelto iniziale, si raggiunge sempre allo stesso risultato finale; ovvero la classe di equipollenza
    DIM. Si vuole dimostrare che si raggiunge sempre allo stesso risultato finale, indipendentemente dal vettore iniziale scelto.
    Ripercorriamo i passaggi definiti in DEF 3.1. con delle leggere variazioni;
    1. Si scelgono due distinti rappresentanti per , ovvero 2. Si scelgono i corrispettivi rappresentanti di , tali che i loro punti iniziali coincidano con i punti finali dei vettori-rappresentanti di ; 3. Ora, per definizione in DEF 3.1., la somma di viene Da qui si evince che indipendentemente dai punti di applicazione e scelti, si arriva sempre allo stesso risultato; ovvero il vettore-risultante .
    La definizione quindi è ben posta, ovvero non dipende dal rappresentante scelto.

OSS 1.1. Rigorosamente parlando, la somma è una funzione, ovvero la si scrive come ove rappresenta l'insieme dei vettori liberi.

OSS 1.2. Se definiamo il vettore libero nullo come , allora notiamo che questo comporta come il numero rispetto alla somma in . Infatti,

DEF 2. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare

Analogamente si definisce lo scalamento come l'operazione della moltiplicazione di un vettore per uno scalare (ovvero numero reale );
Se , , allora possiamo definire ;Di cui è stata già definita in Vettori Liberi (DEF 3.2.).
OSS 2.1. Anche in questo caso la moltiplicazione di un vettore per uno scalare è una definizione ben posta.

Table Of Contents
Vettori Applicati
Premessa
DEF 1. Vettore Applicato
DEF 1.2. Vettore applicato nullo
DEF 1.3. Somma dei due vettori applicati
DEF 1.4. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare
OSS 1.1. Parallelismo tra equazioni lineari e vettori applicati
Vettori Liberi
Premessa
DEF 1. Equipollenza
DEF 2. Classe di equipollenza
DEF 3. Vettore libero
DEF 3.1. Vettore libero nullo
DEF 1. Somma di due vettori liberi
DEF 2. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare